2. DSP系統定義

DSP系統

若輸入的數位訊號為x[n]，輸出的數位訊號為y[n]
則DSP系統可以數學表達

$$y\lbrack n\rbrack=T{x\lbrack n\rbrack}$$
其中，$T{\cdot}$就是DSP系統，或稱為系統的Transform

2.1 動態與靜態系統

動態系統

動態系統 (Dynamic System)是指輸出訊號 $y\lbrack n\rbrack$ 的計算包含過去、現在與未來的數位訊號，也稱作記憶系統 (Memory System)

靜態系統

靜態系統 (Static System)是指輸出訊號 $y\lbrack n\rbrack$ 的計算是根據目前的輸入 $x\lbrack n\rbrack$ 而得，也稱作無記憶系統 (Memoryless System)

動態與靜態系統分別被稱為記憶系統與無記憶系統

(根據是否需要額外記憶體紀錄過去資料用於計算)

2.2 因果系統

因果系統 (Causal System)是指DSP的輸出 $y\lbrack n\rbrack$ ，僅根據目前與過去的輸入訊號運算而得

• Causal這個詞如果在Google翻譯是 "因果關係”，但是我一開始聽到的時候覺得很詭異。
• 可以這樣理解，因為系統的輸出只跟目前與過去的訊號有關，不牽扯到未來
  因此是根據目前與過去的訊號這個 "因”，導致系統輸出這個 “果"，而得名。
• 或者說可以這樣想，”因果關係” 中的 “因" 不大可能是發生在未來 (生活中應該是這樣的經驗吧?)，所以 因果系統 就是專指過去與現在的訊號所產生的輸出
• 因果系統聽起來很理所當然，非因果系統怎麼可能出現呢?? 數學上是會出現的，後續做濾波器設計的地方會出現。

2.3 線性系統

線性系統 (Linear System)是指DSP系統符合線性原則
即:

$$T{\alpha\cdot x_1\lbrack n\rbrack+\beta\cdot x_2\lbrack n\rbrack}=\alpha\cdot T{x_1\lbrack n\rbrack}+\beta\cdot T{x_2\lbrack n\rbrack}$$

2.4 非時變系統

非時變系統 (Time-Invariant System)是指DSP系統的運作，不會隨著時間而改變
即:

$$y\lbrack n\rbrack=T{x\lbrack n\rbrack}$$
若時間延遲 $n_0$
則: $$y\lbrack n-n_0\rbrack=T{x\lbrack n-n_0\rbrack}$$

上述的線性系統與非時變系統，簡稱線性非時變 (Linear Time-Invariant, LTI)系統
是貫穿整個DSP理論的系統，基本上後續的傅立葉轉換、頻譜分析、濾波器設計等等議題
都是基於LTI的性質做出數學推導，請大家記住這個性質

2.5 系統穩定性

穩定系統

穩定系統 (Stable System):
是指系統有限輸入-有限輸出 (Bounded Input-Bounded Output, BIBO)。

DSP系統: $y\lbrack n\rbrack=T{x\lbrack n\rbrack}$
若

$$\left|x\lbrack n\rbrack\right|<B_x<\infty\;,\;-\infty<n<\infty$$
則 $$\left|y\lbrack n\rbrack\right|<B_y<\infty\;,\;-\infty<n<\infty$$
稱此DSP系統BIBO穩定

也就是說當系統輸入訊號落在限定範圍，輸出訊號也會落在限定範圍，就稱為BIBO穩定系統。

穩定系統範例

DSP系統:

$$y\lbrack n\rbrack=\frac13(x\lbrack n\rbrack+x\lbrack n-1\rbrack+x\lbrack n-2\rbrack)$$
假設 $$\left|x\lbrack n\rbrack\right|<B_x<\infty\;,\;-\infty<n<\infty$$
判斷系統穩定性

解法

$\begin{aligned} \left|y\lbrack n\rbrack\right| & = \left|\frac13(x\lbrack n\rbrack+x\lbrack n-1\rbrack+x\lbrack n-2\rbrack)\right|\\ & \leq\frac13(\left|x\lbrack n\rbrack\right|+\left|x\lbrack n-1\rbrack\right|+\left|x\lbrack n-2\rbrack\right|)\\ & \leq\frac13(B_x+B_x+B_x)=B_x<\infty \end{aligned}$
此系統為BIBO穩定

非穩定系統範例

DSP系統:

$$y\lbrack n\rbrack=r^n\cdot x\lbrack n\rbrack\;,\;r>1$$
假設 $$\left|x\lbrack n\rbrack\right|<B_x<\infty\;,\;-\infty<n<\infty$$
判斷系統穩定性

解法

$\begin{aligned} \left|y\lbrack n\rbrack\right| & = \left|r^n\cdot x\lbrack n\rbrack\right|\\ & = \left|r^n\right|\cdot\left|x\lbrack n\rbrack\right|\xrightarrow{n\rightarrow\infty}\infty \end{aligned}$
此系統BIBO不穩定