8. 傅立葉番外篇

1. 為什麼訊號的平均值就是直流分量

• 傅立葉級數 (eq 3.25)
  

• 連續時間週期信號的傅立葉級數 (eq 3.38、3.39)
  

上式中 $a_k$ 稱為傅立葉級數加權係數 或是 $x(t)$的頻譜係數

頻譜係數式量測 $x(t)$ 在每個頻率的分量所佔的比例

其中當 $k=0$ 時可得到 $a_0$ 稱為直流分量
$a_0=\frac1T\int_Tx(t)\operatorname dt$

因此想要去除訊號中直流成分，就是把原始訊號減去訊號的平均值

2. 為什麼 numpy 的 fft 算出的 Magnitude 需要除以 N

• 離散時間週期信號的傅立葉級數 (eq 3.94、3.95)
  

上式中 $a_k$ 稱為 $x\lbrack n\rbrack$的頻譜係數

由傅立葉級數的物理意義來說 $a_k$ 代表的是 $x\lbrack n\rbrack$序列在各個頻率的分量

而傅立葉轉換的公式定義如下

$X\lbrack k\rbrack=\sum_{n=0}^{N-1}x\lbrack n\rbrack\cdot e^{-j\frac{2\mathrm\pi}Nkn}$

matlab、numpy、scipy等等軟體工具算出的fft的數據都是上述的公式計算出的結果

但是與傅立葉級數中的頻譜係數對比可以導出下列公式

$a_k=\frac1N\cdot X\lbrack k\rbrack$

因此軟體工具算出的結果需要乘上 $\frac1N$ 才是正確的數據結果