9. Hilbert Transform

1. Fourier Transform of Signum Function

Fourier Transform:

Signum Function:


求Signum Function的傅立葉轉換

證明

Signum Function是不連續函數，在 $t=0$ 有奇點存在
因此先假設:

傅立葉轉換推導:

因此

2. Duality Property of Fourier Transform

傅立葉轉換對偶性:

3. Hilbert Transform

定義一個解析訊號 (Analytic Signal)，其頻遇表示法為 $X_a(\omega)$

而且負頻率的振幅為 $0$ ，正頻率的振幅為兩倍

推導解析訊號的時域表示 $x_a(t)$


($sgn(\omega)$ 的Inverse Fourier Transform可以透過前兩個小節的說明推導)

上述的 $\widehat x(t)=\frac1{\pi t}\ast x(t)$ 就稱為Hilbert Transform

也就是把原始訊號 $x(t)$ 與 $h(t)=\frac1{\pi t}$ 做捲積 (Convolution)後得到

4. Hilbert Transform性質說明

由上面的推導
先假設Hilbert Transform的脈衝響應為

分析Hilbert Transform的頻率響應


(上述推導基於傅立葉轉換的Duality Property)

由上述的Hilbert Transform的頻率響應公式

可以看出當

1. $\omega>0$ ，頻譜的Magnitude為$1$，頻譜的Phase為 $\frac{\mathrm\pi}2$
2. $\omega<0$ ，頻譜的Magnitude為$1$，頻譜的Phase為 $-\frac{\mathrm\pi}2$
3. $\omega=0$ ，頻譜的Magnitude為$0$，頻譜的Phase為 $0$

因此Hilbert Transform可以想像是一個Filter，濾波後振福不變，但是相位位移 $\frac{\mathrm\pi}2$

最後

再看一個例子

假設有一個訊號
$x(t)=\cos\left(\omega_0t\right)$

解析訊號為

因此，$e^{j\omega_0t}$ 就是cosine訊號的解析訊號

Ref:

• Fourier Transform of Signum Function
• Signals & Systems – Duality Property of Fourier Transform
• 希爾伯特變換
• 解析訊號
• 希爾伯特轉換

• Hilbert transform